Fermat 점 (페르마 점)의 위치와 그 성질에 대한 두 가지 증명

 

Fermat 점 (페르마 점)은 Euclid 평면 (유클리드 평면) 에서 주어진 세 점이 있을 때, 그 세 점들까지의 거리의 합이 최소인 점을 말한다. 본 포스트에서는

Fermat 점에서 세 꼭짓점까지 이루는 직선들은 서로 120도를 이룬다

는 명제를 조건부 극값 문제를 해결하는 해석적인 증명과 평면 기하적인 증명, 두 가지로 보인다.

해석적인 증명

본 증명은 Lagrange 승수법을 통해 조건부 극값 문제를 해결하여 주어진 명제를 증명한다. 가장 단순하면서도 계산이 복잡한 방식이다.

삼각형 와 그 내부의 점 를 잡자. 이 때,

으로 설정하고, 함수 로 정의하자. Fermat 점을 찾는 문제가 의 극값을 구하는 문제로 바뀌었다. 단, 주어진 세 점 는 삼각형을 이루므로 다음의 세 조건을 만족한다.

이제 다음과 같이 에서 로 가는 세 함수를 정의할 수 있다:

Lagrange 승수법을 사용하기 위해 다음과 같은 새로운 함수 를 정의하자:

이제 좀 골치 아픈 작업이 남았다—의 극값을 구하기 위해 에 대해서 식을 편미분하자.

항 하나가 완전히 일치하는 (4)와 (5)를 연립하면 이 된다. 이 때 라고 두고 다시 (4)나 (5)에 대입하면, 모두 만으로 표현할 수 있게 된다.

이렇게 다시 쓴 를 (1)–(3)에 대입하여 식을 정리하고 를 대입하면,

가 나온다. 이 때, 는 식을 정리하면서 나온 어떤 값이다. 결국 를 알 수 있다.

그런데, 이 증명에는 흠이 있는데, Lagrange 승수법의 한계상, 이미 는 극값을 가진다는 것이 전제된다. 즉, 필요 조건일 뿐이지 충분 조건이 되지 않는다. 예컨데 삼각형의 한 내각이 120돌르 넘는다면, Fermat 점에서 각 꼭짓점들을 이은 직선들은 서로 이루는 각이 120도가 될 수 없다.

이에 우리는 이 문제를 해결할 수 있는 기하적인 증명을 제시한다.

기하적인 증명

삼각형 와 그 내부의 한 점 를 잡자.

Figure 1

를 점 에 대해 반시계 방향으로 60도 회전한다. 이렇게 회전된 삼각형과 점을 각각 으로 두자.

Figure 2

그렇다면 이며, 이의 최솟값은 가 된다. (Euclid 평면에서 최단거리는 직선이기 때문이다.) 이므로 는 정삼각형이다. 즉, 외부에 와 정삼각형을 이루도록 잡은 점이다.

Figure 3

마찬가지로, 가 정삼각형이 되도록 밖에 잡을 수 있다. 따라서 이 최소인 의 교점에 위치할 때이며, 이를 라고 하자.

또한, 이므로 이다. 결국 이어서 는 concyclic, 즉 한 원 위에 있다. 따라서 이다.

그런데, 위 증명에서는 삼각형의 내각이 모두 120도 이하일 경우만을 고려한 것이다. 왜인지 알겠는가? 가 한 원 위에 있다고 하였을 때, 가 120도를 넘었더라면 네 점의 외접원 내부에 가 들어와 문제가 되기 때문이다. 이런 경우를 따로 고려해줘야한다.

간단히 개요만 설명한다. 가 120도를 넘는다고 하자. 그렇다면 삼각형 내부의 어떤 점이든 각 꼭짓점까지의 거리 합이 보다 작은 점이 없다는 것은 위 증명을 조금 변형하여 알 수 있다. 이제 아래와 같은 lemma를 설정하자.

삼각형 외부의 어떤 점이든, 각 꼭짓점까지의 거리 합은 그 삼각형 둘레에 존재하는 점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 합보다 작다.

삼각형의 각 변을 직선으로 연장하여 평면을 총 6구역으로 나눌 수 있는데, 각 구역에 존재하는 점에서 각 꼭짓점까지의 거리 합보다 작은 삼각형 둘레 상의 점을 쉽게 찾을 수 있다. 일반성을 잃지 않고 삼각형의 꼭짓점이 그 무한 영역의 끝이 아닌 경우와 삼각형의 변이 무한 영역의 경계인 경우 두 구역에 대해서만 확인해보면 된다. 이렇게 lemma를 증명하면, 가 Fermat 점이 됨을 알 수 있다.